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內(nèi)容簡(jiǎn)介 本書針對(duì)半線性微分方程中含有的非線性項(xiàng)f（u），在有限元計(jì)算中將插值Ihf（uh）代替f（uh），從而得到一種簡(jiǎn)化的有限元法——插值系數(shù)有限元法.同經(jīng)典的有限元求解非線性微分方程相比，插值系數(shù)有限元法是一種高效而經(jīng)濟(jì)的算法.本書用中國(guó)學(xué)派獨(dú)創(chuàng)的單元正交分析法及其修正技術(shù)，系統(tǒng)地對(duì)多種半線性微分方程問題，研究了插值系數(shù)有限元的超收斂性，對(duì)其性質(zhì)和相關(guān)結(jié)構(gòu)做出比較完整的理論分析，為某些應(yīng)用非線性微分方程的數(shù)值模擬和計(jì)算提供一種高精度的高效計(jì)算方法． 本書可供高等院校計(jì)算數(shù)學(xué)專業(yè)的師生以及科研人員和工程技術(shù)人員參考. 前言 20世紀(jì)60年代以來，中國(guó)、美國(guó)和西歐的計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)者們各自獨(dú)立地發(fā)明了有限元法.這是當(dāng)代計(jì)算數(shù)學(xué)進(jìn)展的里程碑，意義重大，影響深遠(yuǎn).中國(guó)學(xué)者獨(dú)有的單元正交方法及其校正技術(shù)在有限元法的研究上取得了很大的成就.本書的目的是試圖向讀者介紹解決一類非線性微分方程插值系數(shù)有限元方法及其超收斂性的理論研究成果.全書分為十章. 第一章介紹了國(guó)際上研究此類問題已有的結(jié)果和進(jìn)展，主要闡述插值系數(shù)有限元法的研究背景與現(xiàn)狀. 第二章給出研究插值系數(shù)有限元所需的工具與引理，引入了Legendre正交展開和M擬正交展開的定義及相關(guān)性質(zhì)等，介紹了單元分析法及其校正技術(shù)的基本思想. 第三章簡(jiǎn)單介紹常微分方程初值問題連續(xù)有限元法與間斷有限元法，以及已有的利用單元正交逼近校正技巧證明其收斂性與超收斂性的主要成果. 以后幾章是本書作者的主要研究?jī)?nèi)容：即將插值系數(shù)有限元法ICFE用于求解各種不同問題的收斂性和超收斂性. 第四章利用單元正交逼近校正技巧，研究解半線性常微分方程初值問題的超收斂性，并推導(dǎo)了其重構(gòu)導(dǎo)數(shù)的強(qiáng)超收斂性.隨后把該方法用于研究一個(gè)非線性振動(dòng)問題的振動(dòng)頻率，與常用的奇異攝動(dòng)法相比，插值系數(shù)有限元法有更高的效益. 第五章研究求解半線性橢圓問題，首先給出了已有的兩點(diǎn)邊值問題的結(jié)果，然后分別研究了三角形二次元與任意矩形元的超收斂性，最后對(duì)這兩種單元類型都給出了典型的數(shù)值例子. 第六章研究插值系數(shù)有限元求解半線性拋物初邊值問題，對(duì)一維情形，分別研究了半離散和全離散格式的超收斂性，對(duì)二維情形則研究了半離散三角形元的任意次矩形元的超收斂性. 第七章研究了二維情形的半線性雙曲問題的半離散和全離散插值系數(shù)有限元法，并利用較簡(jiǎn)潔的方法證明了它們的收斂性． 第八章針對(duì)非線性微分方程最優(yōu)控制問題，研究了插值系數(shù)混合有限元方法，獲得了一種求解一類非線性最優(yōu)控制問題簡(jiǎn)潔而高效的計(jì)算格式，并進(jìn)行了相應(yīng)的誤差分析,拓展了插值系數(shù)混合有限元法在最優(yōu)控制問題方面的研究與計(jì)算. 第九章針對(duì)一類半線性兩點(diǎn)邊值問題和半線性橢圓邊值問題，研究了插值系數(shù)最小二乘混合有限元方法，并通過引進(jìn)投影算子和對(duì)偶問題進(jìn)行收斂性分析． 第十章介紹將插值系數(shù)思想用于非線性微分方程有限體積法研究，并研究了非線性常微分方程和兩點(diǎn)邊值問題插值系數(shù)有限體積元法及其收斂性. 為撰寫本書，作者直接或間接引用了國(guó)內(nèi)外較多文獻(xiàn)的成果，非常感謝同行的研究和幫助.作者在非線性微分方程插值系數(shù)有限元和有限體積元方面的研究工作先后得到了國(guó)家自然科學(xué)基金、中國(guó)博士后科研基金、湖南省自然科學(xué)基金、湖南省科技廳科技計(jì)劃項(xiàng)目基金和湖南省教育廳科研基金的支持，特此致謝． 本書的最終出版得到了湖南科技大學(xué)學(xué)術(shù)出版基金的全額資助.作者希望本書的出版有助于有限元方法用于非線性微分方程計(jì)算的研究，并促進(jìn)其進(jìn)一步的發(fā)展.由于作者水平有限，書中難免會(huì)有不少疏漏之處，敬請(qǐng)讀者批評(píng)指教． 熊之光 2014年12月于湘潭 目錄 第一章緒論1 §1.1有限元方法及發(fā)展1 §1.2插值系數(shù)有限元法的基本概念2 §1.3插值系數(shù)有限元法研究的發(fā)展?fàn)顩r3 第二章基本理論工具5 §2.1兩類基本正交展開5 §2.2正交展開的基本性質(zhì)8 §2.3單元分析法的正交修正技術(shù)11 第三章常微分方程有限元法14 §3.1古典差分格式簡(jiǎn)介14 §3.2連續(xù)有限元18 §3.3間斷有限元23 第四章非線性常微分方程34 §4.1連續(xù)有限元的超收斂性34 §4.2有限元導(dǎo)數(shù)重構(gòu)的強(qiáng)超收斂性40 §4.3非線性振動(dòng)計(jì)算頻率的新算法44 第五章半線性橢圓問題53 §5.1半線性兩點(diǎn)邊值問題研究簡(jiǎn)述53 §5.2三角形二次插值系數(shù)有限元法56 5.2.1數(shù)值格式與主要結(jié)果56 5.2.2三角形二次元的M展開57 5.2.3線性問題的超收斂性59 5.2.4半線性問題超收斂定理的證明61 5.2.5數(shù)例64 §5.3插值系數(shù)矩形有限元65 5.3.1數(shù)值格式與主要結(jié)果65 5.3.2矩形插值函數(shù)的構(gòu)造及線性問題的超收斂性66 5.3.3非線性問題超收斂性68 5.3.4數(shù)例71 第六章半線性拋物問題73 §6.1一維空間情形的半離散有限元73 §6.2一維空間情形的連續(xù)時(shí)間全離散有限元76 6.2.1數(shù)值格式與主要結(jié)果76 6.2.2基本誤差估計(jì)77 6.2.3網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的超收斂性81 6.2.4數(shù)例85 §6.3二維空間情形的半離散有限元85 6.3.1三角形二次插值系數(shù)有限元法86 6.3.2插值系數(shù)矩形有限元88 第七章半線性雙曲問題91 §7.1半離散有限元及其收斂性91 §7.2全離散有限元及其收斂性94 第八章非線性最優(yōu)控制問題100 §8.1最優(yōu)控制問題的簡(jiǎn)單介紹100 §8.2一維最優(yōu)控制問題102 8.2.1插值系數(shù)混合有限元計(jì)算格式102 8.2.2先驗(yàn)誤差估計(jì)104 8.2.3數(shù)值實(shí)驗(yàn)108 §8.3二維最優(yōu)控制問題109 8.3.1問題的提出110 8.3.2僅對(duì)狀態(tài)方程中非線性項(xiàng)作插值處理的情形111 8.3.3狀態(tài)和對(duì)偶狀態(tài)方程中非線性項(xiàng)同時(shí)作插值處理115 第九章基于最小二乘的混合有限元117 §9.1半線性兩點(diǎn)邊值問題117 §9.2半線性橢圓問題127 第十章插值系數(shù)有限體積元法135 §10.1非線性常微分方程初值問題135 10.1.1線性體積元法135 10.1.2二次體積元法139 10.1.3數(shù)值例子142 §10.2半線性兩點(diǎn)邊值問題142 10.2.1線性有限體積元143 10.2.2二次有限體積元155 10.2.3數(shù)值例子162 參考文獻(xiàn)1648 |
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