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內(nèi)容簡(jiǎn)介

    本書(shū)根據(jù)江蘇省普通高等學(xué)校非理科專(zhuān)業(yè)高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽委員會(huì)制訂的高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽大綱,并參照教育部制訂的考研數(shù)學(xué)考試大綱編寫(xiě)而成,內(nèi)容分為極限與連續(xù)、一元函數(shù)微分學(xué)、一元函數(shù)積分學(xué)、多元函數(shù)微分學(xué)、多元函數(shù)積分學(xué)、空間解析幾何、級(jí)數(shù)、微分方程等八個(gè)專(zhuān)題,每個(gè)專(zhuān)題含“基本概念與內(nèi)容提要”、“競(jìng)賽題與精選題解析”、“練習(xí)題”三個(gè)部分。其中,競(jìng)賽題選自江蘇(1—12屆)、北京(1—15屆)、浙江(1—10屆)、廣東、陜西、上海、天津等省市大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題;全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題(1—5屆初賽和決賽);清華大學(xué)、南京大學(xué)、上海交通大學(xué)等高校大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題;莫斯科大學(xué)等國(guó)外高校大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題。高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽能激勵(lì)大學(xué)生們學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣,活躍思想。高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題中既含基本題,又含很多具有較高水平和較大難度的趣味題，這些題目構(gòu)思絕妙,方法靈活,技巧性強(qiáng),本書(shū)逐條解析,并對(duì)重要題目深入分析,總結(jié)解題方法與技巧。本書(shū)可供準(zhǔn)備本科高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽的老師和學(xué)生作為應(yīng)試教程,也可供各類(lèi)高等學(xué)校的大學(xué)生作為學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)和考研的參考書(shū),特別有益于成績(jī)優(yōu)秀的大學(xué)生提高高等數(shù)學(xué)水平。

目錄

專(zhuān)題1

極限與連續(xù)1
11基本概念與內(nèi)容提要1
1.1.1一元函數(shù)基本概念1
1.1.2數(shù)列的極限1
1.1.3函數(shù)的極限1
1.1.4證明數(shù)列或函數(shù)極限存在的方法2
1.1.5無(wú)窮小量2
1.1.6無(wú)窮大量3
1.1.7求數(shù)列或函數(shù)的極限的方法3
1.1.8函數(shù)的連續(xù)性3
12競(jìng)賽題與精選題解析4
1.2.1求函數(shù)的表達(dá)式（例11—14）4
1.2.2利用四則運(yùn)算求極限（例15—118）6
1.2.3利用夾逼準(zhǔn)則與單調(diào)有界準(zhǔn)則求極限（例119—128）13
1.2.4利用兩個(gè)重要極限求極限（例129—132）19
1.2.5利用等價(jià)無(wú)窮小因子代換求極限（例133—138）20
1.2.6無(wú)窮小比較與無(wú)窮大比較（例139—142）22
1.2.7連續(xù)性與間斷點(diǎn)（例143—149）23
1.2.8利用介值定理的證明題（例150—154)25
練習(xí)題一28

專(zhuān)題2一元函數(shù)微分學(xué)30
21基本概念與內(nèi)容提要30
2.1.1導(dǎo)數(shù)的定義30
2.1.2左、右導(dǎo)數(shù)的定義30
2.1.3微分概念30
2.1.4基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式31
2.1.5求導(dǎo)法則31
2.1.6高階導(dǎo)數(shù)31
2.1.7微分中值定理32
2.1.8泰勒公式與馬克勞林公式32
2.1.9洛必達(dá)法則33
2.1.10導(dǎo)數(shù)在幾何上的應(yīng)用34
22競(jìng)賽題與精選題解析35
2.2.1利用導(dǎo)數(shù)的定義解題（例21—27）35
2.2.2利用求導(dǎo)法則解題（例28—215）38
2.2.3求高階導(dǎo)數(shù)（例216—229）42
2.2.4與微分中值定理有關(guān)的證明題（例230—249）47
2.2.5馬克勞林公式與泰勒公式的應(yīng)用（例250—270）58
2.2.6利用洛必達(dá)法則求極限（例271—281）72
2.2.7導(dǎo)數(shù)在幾何上的應(yīng)用（例282—2101）76
2.2.8不等式的證明(例2102—2113)86
練習(xí)題二93

專(zhuān)題3一元函數(shù)積分學(xué)96
3.1基本概念與內(nèi)容提要96
3.1.1不定積分基本概念96
3.1.2基本積分公式96
3.1.3不定積分的計(jì)算97
3.1.4定積分基本概念98
3.1.5定積分中值定理98
3.1.6變限的定積分98
3.1.7定積分的計(jì)算99
3.1.8奇偶函數(shù)與周期函數(shù)定積分的性質(zhì)99
3.1.9定積分在幾何與物理上的應(yīng)用99
3.1.10反常積分101
3.2競(jìng)賽題與精選題解析102
3.2.1求原函數(shù)（例3.1—3.4）102
3.2.2求不定積分（例3.5—3.19）104
3.2.3利用定積分的定義求極限（例3.20—3.26）108
3.2.4應(yīng)用積分中值定理解題（例3.27—3.32）112
3.2.5變限的定積分的應(yīng)用（例3.33—3.48）115
3.2.6定積分的計(jì)算（例3.49—3.67）123
3.2.7定積分在幾何與物理上的應(yīng)用（例3.68—3.79）129
3.2.8積分不等式的證明（例3.80—3.107）137
3.2.9積分等式的證明（例3.108—3.111）155
3.2.10反常積分（例3.112—3.120）158
練習(xí)題三164

專(zhuān)題4多元函數(shù)微分學(xué)166
41基本概念與內(nèi)容提要166
4.1.1二元函數(shù)的極限與連續(xù)性166
4.1.2偏導(dǎo)數(shù)與全微分166
4.1.3多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)167
4.1.4高階偏導(dǎo)數(shù)169
4.1.5二元函數(shù)的極值169
4.1.6條件極值169
4.1.7多元函數(shù)的最值171
4.2競(jìng)賽題與精選題解析171
4.2.1求二元函數(shù)的極限（例4.1—4.2）171
4.2.2二元函數(shù)的連續(xù)性、可偏導(dǎo)性與可微性（例4.3—4.8）172
4.2.3求多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)（例4.9—4.20）174
4.2.4求高階偏導(dǎo)數(shù)（例4.21—4.30）179
4.2.5求二元函數(shù)的極值（例4.31—4.35）185
4.2.6求條件極值（例4.36—4.39）189
4.2.7求多元函數(shù)在有界閉域上的最值（例4.40—4.41）191
練習(xí)題四192

專(zhuān)題5多元函數(shù)積分學(xué)195
51基本概念與內(nèi)容提要195
5.1.1二重積分基本概念195
5.1.2二重積分的計(jì)算196
5.1.3交換二次積分的次序197
5.1.4三重積分基本概念與計(jì)算197
5.1.5重積分的應(yīng)用198
5.1.6曲線積分基本概念與計(jì)算199
5.1.7格林公式201
5.1.8曲面積分基本概念與計(jì)算202
5.1.9斯托克斯公式204
5.1.10高斯公式205
52競(jìng)賽題與精選題解析205
5.2.1二重積分的計(jì)算（例51—516）205
5.2.2 交換二次積分的次序（例517—526）213
5.2.3三重積分的計(jì)算（例527—531）217
5.2.4與重積分有關(guān)的不等式的證明（例532—538）220
5.2.5曲線積分的計(jì)算（例539—544）225
5.2.6應(yīng)用格林公式解題（例545—555）229
5.2.7曲面積分的計(jì)算（例556—558）236
5.2.8應(yīng)用斯托克斯公式解題（例559—560）238
5.2.9應(yīng)用高斯公式解題（例561—567）240
5.2.10多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用題（例568—577）245
練習(xí)題五250

專(zhuān)題6空間解析幾何254
61基本概念與內(nèi)容提要254
6.1.1向量的基本概念與向量的運(yùn)算254
6.1.2空間的平面255
6.1.3空間的直線255
6.1.4空間的曲面256
6.1.5空間的曲線257
62競(jìng)賽題與精選題解析258
6.2.1向量的運(yùn)算（例61—65）258
6.2.2空間平面的方程（例66—69）259
6.2.3空間直線的方程（例610—615）261
6.2.4空間曲面的方程與空間曲面的切平面（例616—626）262
6.2.5空間曲線的方程與空間曲線的切線（例627—632）268
練習(xí)題六272

專(zhuān)題7級(jí)數(shù)274
71基本概念與內(nèi)容提要274
7.1.1數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的主要性質(zhì)274
7.1.2正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別法274
7.1.3任意項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別法275
7.1.4冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂域與和函數(shù)275
7.1.5初等函數(shù)關(guān)于x的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式275
7.1.6傅氏級(jí)數(shù)276
7.2競(jìng)賽題與精選題解析277
7.2.1判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性（例7.1—7.16）277
7.2.2判別任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性（例7.17—7.28）288
7.2.3求冪級(jí)數(shù)的收斂域與和函數(shù)（例7.29—7.46）294
7.2.4求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和（例7.47—7.54）305
7.2.5求初等函數(shù)關(guān)于x的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式（例7.55—7.61）309
7.2.6求函數(shù)的傅氏級(jí)數(shù)展開(kāi)式（例7.62）312
練習(xí)題七313

專(zhuān)題8微分方程315
8.1基本概念與內(nèi)容提要315
8.1.1微分方程的基本概念315
8.1.2一階微分方程315
8.1.3二階微分方程316
8.1.4微分方程的應(yīng)用318
8.2競(jìng)賽題與精選題解析318
8.2.1微分方程的特解（例8.1—8.3）318
8.2.2變量可分離方程的應(yīng)用題（例8.4—8.8）319
8.2.3齊次微分方程的應(yīng)用題（例8.9）322
8.2.4一階線性微分方程的應(yīng)用題（例8.10—8.12）323
8.2.5求解二階線性微分方程（例8.13—8.20）325
8.2.6求解可化為二階線性微分方程的微分方程（例8.21—8.22）
329
練習(xí)題八331

練習(xí)題答案與提示332