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1.內(nèi)容簡介 本書根據(jù)江蘇省普通高等學(xué)校非理科專業(yè)高等數(shù)學(xué)競賽委員會(huì)制訂的高等數(shù)學(xué)競賽大綱,并參照教育部制訂的考研數(shù)學(xué)考試大綱編寫而成,內(nèi)容分為極限與連續(xù)、一元函數(shù)微分學(xué)、一元函數(shù)積分學(xué)、多元函數(shù)微分學(xué)、多元函數(shù)積分學(xué)、空間解析幾何、級數(shù)、微分方程等八個(gè)專題,每個(gè)專題含“基本概念與內(nèi)容提要”、“競賽題與精選題解析”、“練習(xí)題”三個(gè)部分。其中,競賽題選自江蘇(1—14屆)、北京(1—15屆)、浙江(1—10屆)、廣東、陜西、上海、天津等省市大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽試題;全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽試題(1—8屆預(yù)賽和決賽);清華大學(xué)、南京大學(xué)、上海交通大學(xué)等高校大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽試題;莫斯科大學(xué)等國外高校大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽試題。高等數(shù)學(xué)競賽能激勵(lì)大學(xué)生們學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣,活躍思想。高等數(shù)學(xué)競賽試題中既含基本題,又含很多具有較高水平和較大難度的趣味題，這些題目構(gòu)思絕妙,方法靈活,技巧性強(qiáng),本書逐條解析,并對重要題目深入分析,總結(jié)解題方法與技巧。本書可供準(zhǔn)備高等數(shù)學(xué)競賽的老師和學(xué)生作為應(yīng)試教程,也可供各類高等學(xué)校的大學(xué)生作為學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)和考研的參考書,特別有益于成績優(yōu)秀的大學(xué)生提高高等數(shù)學(xué)水平。 2.目錄 11基本概念與內(nèi)容提要1 1.1.1一元函數(shù)基本概念1 1.1.2數(shù)列的極限1 1.1.3函數(shù)的極限1 1.1.4證明數(shù)列或函數(shù)極限存在的方法2 1.1.5無窮小量2 1.1.6無窮大量3 1.1.7求數(shù)列或函數(shù)的極限的方法3 1.1.8函數(shù)的連續(xù)性3 12競賽題與精選題解析4 1.2.1求函數(shù)的表達(dá)式（例11—13）4 1.2.2利用四則運(yùn)算求極限（例14—116）6 1.2.3利用夾逼準(zhǔn)則與單調(diào)有界準(zhǔn)則求極限（例117—126）12 1.2.4利用兩個(gè)重要極限求極限（例127—130）18 1.2.5利用等價(jià)無窮小因子代換求極限（例131—133）20 1.2.6無窮小比較與無窮大比較（例134—135）20 1.2.7連續(xù)性與間斷點(diǎn)（例136—141）21 1.2.8利用介值定理的證明題（例142—146)23 練習(xí)題一26 專題2一元函數(shù)微分學(xué)28 21基本概念與內(nèi)容提要28 2.1.1導(dǎo)數(shù)的定義28 2.1.2左、右導(dǎo)數(shù)的定義28 2.1.3微分概念28 2.1.4基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式29 2.1.5求導(dǎo)法則29 2.1.6高階導(dǎo)數(shù)29 2.1.7微分中值定理30 2.1.8泰勒公式與馬克勞林公式30 2.1.9洛必達(dá)法則31 2.1.10導(dǎo)數(shù)在幾何上的應(yīng)用32 22競賽題與精選題解析33 2.2.1利用導(dǎo)數(shù)的定義解題（例21—28）33 2.2.2利用求導(dǎo)法則解題（例29—211）38 2.2.3求高階導(dǎo)數(shù)（例212—223）39 2.2.4與微分中值定理有關(guān)的證明題（例224—242）44 2.2.5馬克勞林公式與泰勒公式的應(yīng)用（例243—263）55 2.2.6利用洛必達(dá)法則求極限（例264—275）69 2.2.7導(dǎo)數(shù)在幾何上的應(yīng)用（例276—293）73 2.2.8不等式的證明(例294—2103)82 練習(xí)題二89 專題3一元函數(shù)積分學(xué)92 3.1基本概念與內(nèi)容提要92 3.1.1不定積分基本概念92 3.1.2基本積分公式92 3.1.3不定積分的計(jì)算93 3.1.4定積分基本概念94 3.1.5定積分中值定理94 3.1.6變限的定積分94 3.1.7定積分的計(jì)算95 3.1.8奇偶函數(shù)與周期函數(shù)定積分的性質(zhì)95 3.1.9定積分在幾何與物理上的應(yīng)用95 3.1.10反常積分97 3.2競賽題與精選題解析98 3.2.1求原函數(shù)（例3.1—3.4）98 3.2.2求不定積分（例3.5—3.18）100 3.2.3利用定積分的定義求極限（例3.19—3.25）104 3.2.4應(yīng)用積分中值定理解題（例3.26—3.28）109 3.2.5變限的定積分的應(yīng)用（例3.29—3.44）111 3.2.6定積分的計(jì)算（例3.45—3.63）119 3.2.7定積分在幾何與物理上的應(yīng)用（例3.64—3.76）127 3.2.8積分不等式的證明（例3.77—3.102）136 3.2.9積分等式的證明（例3.103—3.105）153 3.2.10反常積分（例3.106—3.114）156 練習(xí)題三162 專題4多元函數(shù)微分學(xué)165 41基本概念與內(nèi)容提要165 4.1.1二元函數(shù)的極限與連續(xù)性165 4.1.2偏導(dǎo)數(shù)與全微分165 4.1.3多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)166 4.1.4高階偏導(dǎo)數(shù)168 4.1.5二元函數(shù)的極值168 4.1.6條件極值168 4.1.7多元函數(shù)的最值170 4.2競賽題與精選題解析170 4.2.1求二元函數(shù)的極限（例4.1—4.2）170 4.2.2二元函數(shù)的連續(xù)性、可偏導(dǎo)性與可微性（例4.3—4.9）171 4.2.3求多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)（例4.10—4.22）174 4.2.4求高階偏導(dǎo)數(shù)（例4.23—4.32）179 4.2.5求二元函數(shù)的極值（例4.33—4.37）186 4.2.6求條件極值（例4.38—4.40）190 4.2.7求多元函數(shù)在有界閉域上的最值（例4.41—4.42）192 練習(xí)題四193 專題5多元函數(shù)積分學(xué)196 51基本概念與內(nèi)容提要196 5.1.1二重積分基本概念196 5.1.2二重積分的計(jì)算197 5.1.3交換二次積分的次序198 5.1.4三重積分基本概念與計(jì)算198 5.1.5重積分的應(yīng)用199 5.1.6曲線積分基本概念與計(jì)算200 5.1.7格林公式202 5.1.8曲面積分基本概念與計(jì)算203 5.1.9斯托克斯公式205 5.1.10高斯公式206 52競賽題與精選題解析206 5.2.1二重積分的計(jì)算（例51—514）206 5.2.2交換二次積分的次序（例515—523）214 5.2.3三重積分的計(jì)算（例524—528）218 5.2.4與重積分有關(guān)的不等式的證明（例529—536）221 5.2.5曲線積分的計(jì)算（例537—542）227 5.2.6應(yīng)用格林公式解題（例543—553）231 5.2.7曲面積分的計(jì)算（例554—556）238 5.2.8應(yīng)用斯托克斯公式解題（例557—558）241 5.2.9應(yīng)用高斯公式解題（例559—565）242 5.2.10多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用題（例566—575）248 練習(xí)題五254 專題6空間解析幾何257 61基本概念與內(nèi)容提要257 6.1.1向量的基本概念與向量的運(yùn)算257 6.1.2空間的平面258 6.1.3空間的直線258 6.1.4空間的曲面259 6.1.5空間的曲線260 62競賽題與精選題解析261 6.2.1向量的運(yùn)算（例61—65）261 6.2.2空間平面的方程（例66—67）262 6.2.3空間直線的方程（例68—612）263 6.2.4空間曲面的方程與空間曲面的切平面（例613—624）265 6.2.5空間曲線的方程與空間曲線的切線（例625—630）271 練習(xí)題六276 專題7級數(shù)278 71基本概念與內(nèi)容提要278 7.1.1數(shù)項(xiàng)級數(shù)的主要性質(zhì)278 7.1.2正項(xiàng)級數(shù)斂散性判別法278 7.1.3任意項(xiàng)級數(shù)斂散性判別法279 7.1.4冪級數(shù)的收斂半徑、收斂域與和函數(shù)279 7.1.5初等函數(shù)關(guān)于x的冪級數(shù)展開式279 7.1.6傅氏級數(shù)280 7.2競賽題與精選題解析281 7.2.1判別正項(xiàng)級數(shù)的斂散性（例7.1—7.14）281 7.2.2判別任意項(xiàng)級數(shù)的斂散性（例7.15—7.27）291 7.2.3求冪級數(shù)的收斂域與和函數(shù)（例7.28—7.45）299 7.2.4求數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和（例7.46—7.52）310 7.2.5求初等函數(shù)關(guān)于x的冪級數(shù)展開式（例7.53—7.57）314 7.2.6求函數(shù)的傅氏級數(shù)展開式（例758—759）317 練習(xí)題七318 專題8微分方程320 8.1基本概念與內(nèi)容提要320 8.1.1微分方程的基本概念320 8.1.2一階微分方程320 8.1.3二階微分方程321 8.1.4微分方程的應(yīng)用323 8.2競賽題與精選題解析323 8.2.1微分方程的特解（例8.1—8.3）323 8.2.2變量可分離方程的應(yīng)用題（例8.4—8.8）324 8.2.3齊次微分方程的應(yīng)用題（例8.9）327 8.2.4一階線性微分方程的應(yīng)用題（例8.10—8.12）328 8.2.5求解二階線性微分方程（例8.13—8.20）330 8.2.6求解可化為二階線性微分方程的微分方程（例8.21—8.22） 334 練習(xí)題八336 練習(xí)題答案與提示337 |
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