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寫(xiě)在全書(shū)之前想說(shuō)的話

本書(shū)的寫(xiě)作純屬偶然。我從2012年開(kāi)始面對(duì)本科生開(kāi)設(shè)量子計(jì)算的新生研討課，旨在科普量子計(jì)算與量子信息的知識(shí)，傳播、普及計(jì)算機(jī)科學(xué)發(fā)展的新領(lǐng)域、新知識(shí)和新思維。課程安排了4個(gè)系列的科普講座：量子計(jì)算機(jī)雜談、量子安全通信雜談、量子可逆邏輯電路設(shè)計(jì)雜談、量子容錯(cuò)計(jì)算雜談。除了量子計(jì)算機(jī)雜談的內(nèi)容以外，其余三個(gè)雜談的內(nèi)容都包含在我們研究室2004年以來(lái)主要的學(xué)習(xí)和研究?jī)?nèi)容之中。

開(kāi)設(shè)這門(mén)新生研討課的初衷，一是給新生科普計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)發(fā)展的前沿，通過(guò)介紹量子、量子比特、量子信息、量子計(jì)算、量子通信、量子計(jì)算機(jī)的入門(mén)常識(shí)，以此打開(kāi)學(xué)生們關(guān)注量子科技、量子計(jì)算機(jī)發(fā)展的新視野，點(diǎn)燃他們對(duì)量子科技的興趣，并使他們具備閱讀量子科技相關(guān)科普文獻(xiàn)的基本能力；二是那個(gè)年頭“計(jì)算思維”的熱潮似乎正裹挾著整個(gè)計(jì)算機(jī)學(xué)界，我無(wú)法脫俗，我潛意識(shí)地期待在教學(xué)過(guò)程中實(shí)踐培養(yǎng)“計(jì)算思維”的一種教學(xué)模式。就是想把量子計(jì)算的思維、方法和相關(guān)理論的基本內(nèi)容通過(guò)課程告訴學(xué)生，期待影響他們今后在軟件設(shè)計(jì)或算法構(gòu)建中的思維。教學(xué)實(shí)踐后我親身體會(huì)或了解到，第一個(gè)想法基本可以實(shí)現(xiàn)，因?yàn)閺恼n堂的研討和課后的作業(yè)中可以感覺(jué)到大多數(shù)選課的新生通過(guò)短短的32個(gè)學(xué)時(shí)的學(xué)習(xí)和討論，對(duì)量子計(jì)算與量子信息會(huì)萌發(fā)出興趣，至少他們?cè)谡n程學(xué)習(xí)結(jié)束后會(huì)比一般的學(xué)生更加關(guān)注量子信息科技的新進(jìn)展，從他們口中說(shuō)出的關(guān)于某些科普新聞報(bào)道的評(píng)論更加科學(xué)或靠譜、用詞也更加準(zhǔn)確了。但第二個(gè)目標(biāo)是我的心太大了，原因當(dāng)然在于我。我是半路出家做了一點(diǎn)量子信息和量子計(jì)算相關(guān)的基礎(chǔ)研究，實(shí)踐閱歷不足，沒(méi)有功底和能力將量子信息與量子計(jì)算理論背后的、計(jì)算機(jī)專(zhuān)業(yè)需要的思維和方法很好地凝練出來(lái)，然后通過(guò)課程樸素地告訴學(xué)生。但我又想，我雖然笨拙，卻已通過(guò)授課將這粒有益的種子播在了一些學(xué)生的思維里，我期待著這粒種子會(huì)在今后某一恰當(dāng)?shù)臅r(shí)候突然發(fā)芽、開(kāi)花、結(jié)出可口的果子。

課程開(kāi)設(shè)之初，因?yàn)檎n程內(nèi)容是基于“量子”討論信息和計(jì)算的內(nèi)容，不在我們的宏觀現(xiàn)實(shí)和宏觀思維之中，現(xiàn)實(shí)中除去專(zhuān)業(yè)從事相關(guān)領(lǐng)域研究的人，我們從小到大幾乎都未接受過(guò)相關(guān)教育，哪怕是科普教育，因此當(dāng)課程掛上選課網(wǎng)，選課的學(xué)生因?yàn)檎n程名中出現(xiàn)“量子”會(huì)感到或陌生或畏懼而拒絕，也有少數(shù)學(xué)生會(huì)因?yàn)榛蚰吧蚝闷?，想了解、想學(xué)習(xí)。其實(shí)學(xué)生們和我一樣，我是半路出家，我能夠理解。因此我會(huì)在每一輪、每一次的講稿和PPT中更新內(nèi)容，將相關(guān)的最新的國(guó)內(nèi)外各種新聞媒體的文字、圖片和視頻報(bào)道融入到授課中去，想與時(shí)俱進(jìn)地主動(dòng)講好這4個(gè)講座中的每一個(gè)故事。

在量子可逆邏輯電路設(shè)計(jì)雜談的講座中，想通過(guò)量子可逆邏輯電路設(shè)計(jì)中一個(gè)非常簡(jiǎn)單的、但學(xué)生們卻從未見(jiàn)過(guò)的物理問(wèn)題（已知邏輯函數(shù)的值求解邏輯電路），啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用一些簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題，讓學(xué)生親身感受到什么是現(xiàn)實(shí)問(wèn)題、什么是數(shù)學(xué)模型，親身觸摸到“物理模型-數(shù)學(xué)模型-解決方案”間的關(guān)系，在學(xué)生的思維里種下這粒種子，并讓學(xué)生們意識(shí)到數(shù)學(xué)的普適性意義。在教學(xué)中，通過(guò)課堂互動(dòng)和學(xué)生研討的環(huán)節(jié)，我發(fā)現(xiàn)大多數(shù)同學(xué)可以較快地掌握一些基本概念并能夠大致理解問(wèn)題（已知邏輯函數(shù)的值求解邏輯電路），了解把問(wèn)題的物理模型抽象成邏輯門(mén)輸入/輸出數(shù)值間的數(shù)字問(wèn)題，通過(guò)選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具（真值表、矩陣與代數(shù)演算、置換等）講解，再把數(shù)字問(wèn)題轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)問(wèn)題，然后建立問(wèn)題求解的數(shù)學(xué)模型，再基于數(shù)學(xué)工具的運(yùn)算規(guī)則加工數(shù)字，最終達(dá)成問(wèn)題的解決方案，最后將解決方案的文字與計(jì)算公式轉(zhuǎn)換成算法。一般的學(xué)生此時(shí)能夠完成問(wèn)題求解的代數(shù)計(jì)算，條件好的學(xué)生能夠進(jìn)一步給出采用基本方法的程序設(shè)計(jì)結(jié)果。對(duì)于條件更好的學(xué)生進(jìn)一步推薦“解決方案-算法設(shè)計(jì)-程序?qū)崿F(xiàn)”的實(shí)踐環(huán)節(jié)，活用數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與程序設(shè)計(jì)中的技巧，真正體會(huì)科學(xué)計(jì)算程序設(shè)計(jì)的樂(lè)趣。因?yàn)橛羞@樣的教學(xué)活動(dòng)體會(huì)，我確實(shí)曾經(jīng)想過(guò)把相關(guān)內(nèi)容以數(shù)學(xué)建模為主線歸納小結(jié)成講義。

說(shuō)到本書(shū)的寫(xiě)作純屬偶然，其實(shí)還受到一件事的觸發(fā)。某一日同學(xué)聚會(huì)，有同學(xué)問(wèn)我有沒(méi)有適合數(shù)學(xué)建模程序競(jìng)賽題目的建議，此時(shí)我的頭腦中真的突然閃現(xiàn)這個(gè)想法：量子可逆邏輯電路綜合可以成為一個(gè)好的命題內(nèi)容，還可以作為程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言課程設(shè)計(jì)的選題之一。首先命題者如若善于表達(dá)，量子可逆邏輯電路綜合的問(wèn)題是易于表述且目標(biāo)明確的，問(wèn)題本身有助于數(shù)學(xué)建模與代數(shù)優(yōu)化，程序?qū)崿F(xiàn)時(shí)能夠采用多種程序設(shè)計(jì)和數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的技巧達(dá)到提高自動(dòng)生成邏輯電路的效率。再者就是3量子可逆邏輯電路有開(kāi)放的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)，4量子可逆邏輯電路全體的綜合依然是一個(gè)技術(shù)上的開(kāi)放問(wèn)題，因此無(wú)論是競(jìng)賽還是課程設(shè)計(jì)的結(jié)果都可以得到公平、公正和是否創(chuàng)新的評(píng)判。原本想寫(xiě)，有一些積累，遇上這一件事觸發(fā)，于是就寫(xiě)出了這本書(shū)。

新興學(xué)科量子信息論與量子計(jì)算理論的基礎(chǔ)是量子力學(xué)原理，本書(shū)的撰寫(xiě)過(guò)程中涉及一些量子信息和量子計(jì)算的概念及其表達(dá)方法，又因我們的教育和研究背景是計(jì)算機(jī)科學(xué)與應(yīng)用，加之編寫(xiě)的動(dòng)因突發(fā)，且希望一氣呵成，時(shí)間倉(cāng)促、修養(yǎng)不足，因此本書(shū)難免有疏漏和不當(dāng)之處，敬請(qǐng)讀者批評(píng)指正。

回頭看，成就本書(shū)的編撰，要感謝我的多位博士研究生:李志強(qiáng)、肖芳英、李文騫、王冬,以及萬(wàn)四爽、安博、楊忠明等碩士，感謝他（她）們?cè)缙诘亩嗄昱Φ慕Y(jié)果，特別是李志強(qiáng)為本書(shū)編撰提供了大量翔實(shí)的材料，以及基于Hash函數(shù)的3量子全部40320個(gè)可逆邏輯電路的計(jì)算結(jié)果。同時(shí)感謝談佳寧博士為全書(shū)提供規(guī)范的全部可逆邏輯電路圖。

陳漢武2017年3月31日

量子可逆邏輯的研究源于可逆計(jì)算機(jī)的研究。20世紀(jì)中葉，人們發(fā)現(xiàn)集成電路芯片的能耗導(dǎo)致計(jì)算機(jī)系統(tǒng)發(fā)熱，既限制了芯片集成度，又影響到計(jì)算機(jī)的運(yùn)行速度。IBM的科學(xué)家R.Landaue指出，集成電路芯片的能耗主要源于芯片中門(mén)電路的信號(hào)演算不可逆操作。因此，降低芯片能耗、抑制發(fā)熱的關(guān)鍵是將不可逆操作變?yōu)榭赡娌僮?。在信息領(lǐng)域，眾所周知：經(jīng)典計(jì)算機(jī)的本質(zhì)是一個(gè)通用圖靈機(jī)，是不可逆的，但所有不可逆通用圖靈機(jī)都對(duì)應(yīng)一個(gè)可逆圖靈機(jī)，且兩者的計(jì)算能力和計(jì)算效率完全相同，C.Bennett對(duì)此有嚴(yán)格證明。由于量子門(mén)與酉算子對(duì)應(yīng)，量子邏輯門(mén)是可逆的，因此可以用可逆邏輯的設(shè)計(jì)方法綜合量子邏輯電路。由于量子可逆邏輯門(mén)電路理論上不丟失信息，因此不存在熱耗散，從而在理論上可以有效地解決集成芯片的能耗與發(fā)熱的問(wèn)題。C.Bennett證明：只要是可逆門(mén)構(gòu)造的網(wǎng)絡(luò)，能量零損耗是可能的。量子可逆邏輯綜合技術(shù)已逐步廣泛地應(yīng)用于量子計(jì)算、低功耗CMOS電路、納米技術(shù)、光計(jì)算、加密技術(shù)等一些科技領(lǐng)域，隨著科學(xué)技術(shù)與電子工業(yè)工藝的進(jìn)步，量子可逆邏輯的研究將會(huì)逐步進(jìn)入更多學(xué)科的研究領(lǐng)域，將會(huì)變得越來(lái)越活躍、越來(lái)越重要。

隨著量子可逆邏輯研究的深入，會(huì)涉及一些量子計(jì)算和量子信息處理的新思維和新方法，也會(huì)對(duì)計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)的發(fā)展起到促進(jìn)的作用。量子邏輯門(mén)的代數(shù)抽象為可逆算子，最近30年來(lái)，研究者們提出了多種可逆量子門(mén)，除單個(gè)量子邏輯非門(mén)外，還有若干多量子可逆門(mén)，例如控制非門(mén)、Toffoli門(mén)、Fredkin門(mén)以及Peres門(mén)等。若干量子可逆門(mén)的級(jí)聯(lián)與綜合可構(gòu)成基本量子電路，量子電路是構(gòu)建量子設(shè)備與量子計(jì)算機(jī)的基本元素，因此研制性能優(yōu)良的量子邏輯門(mén)、量子可逆邏輯電路既可解決芯片能耗導(dǎo)致發(fā)熱的問(wèn)題，又可提高芯片的集成度與運(yùn)行速度。量子可逆邏輯電路的設(shè)計(jì)與綜合的方法與規(guī)則也是構(gòu)建未來(lái)低功耗電路科技的基礎(chǔ)。不僅如此，研究量子可逆邏輯的綜合理論、量子可逆邏輯電路的自動(dòng)生成技術(shù)、量子可逆邏輯電路的錯(cuò)誤檢測(cè)與定位技術(shù)，也有助于基于量子計(jì)算問(wèn)題解決方案的算法的量子線路描述與算法正確性驗(yàn)證的研究。雖然量子可逆邏輯綜合的研究工作如此有意義，但作為大學(xué)本科生或研究生的科普讀物，本書(shū)只是重點(diǎn)講述一些基本內(nèi)容，例如，如何根據(jù)給定的量子門(mén)完成可逆邏輯函數(shù)對(duì)應(yīng)的可逆邏輯電路的代數(shù)計(jì)算，進(jìn)一步，如何根據(jù)要求設(shè)計(jì)問(wèn)題求解的算法，完成自動(dòng)生成門(mén)陣列最短、量子代價(jià)最小的量子可逆電路的程序設(shè)計(jì)。

本書(shū)共六章內(nèi)容：

第一章主要介紹量子信息與量子計(jì)算的基本知識(shí)，以為什么要研究量子可逆邏輯電路為引子，講解量子可逆邏輯電路從設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模到算法設(shè)計(jì)的基本過(guò)程。

第二章介紹量子可逆邏輯電路設(shè)計(jì)中兩個(gè)關(guān)鍵的代數(shù)定義以及可逆邏輯門(mén)的定義及其運(yùn)算規(guī)則。

第三章介紹基于真值表數(shù)學(xué)建模的可逆邏輯電路綜合方法，漢明距離求解方法和兩個(gè)基于真值表的量子邏輯電路綜合算法：二分法與圖解法，以及案例的代數(shù)求解。

第四章介紹基于代數(shù)建模的可逆邏輯電路綜合方法，以及一個(gè)完整可再實(shí)現(xiàn)的基于RM代數(shù)建模的量子可逆邏輯門(mén)電路綜合算法與程序?qū)崿F(xiàn)。

第五章介紹基于置換群建模的可逆邏輯電路綜合方法，基于28個(gè)對(duì)換元素組成的3量子可逆邏輯電路的快速綜合方法，以及一個(gè)完整可再實(shí)現(xiàn)的基于Hash表的量子邏輯電路綜合算法與程序?qū)崿F(xiàn)，同時(shí)給出3量子40320個(gè)使用NCT門(mén)的全部量子可逆邏輯門(mén)電路的代數(shù)計(jì)算結(jié)果。

第六章介紹4量子比特可逆邏輯電路綜合方法，并給出一個(gè)完整可再實(shí)現(xiàn)的基于Hash表及其多種優(yōu)化元素的4量子邏輯電路綜合的算法與程序?qū)崿F(xiàn)。最后給出我們的算法關(guān)于4量子置換（15，2，3，12，5，9，1，11，0，10，14，6，4，8，7，13）的計(jì)算結(jié)果：電路A是Maslov的結(jié)果，B是我們的計(jì)算結(jié)果，兩個(gè)可逆邏輯電路完成相同的信號(hào)變換。

本書(shū)各章節(jié)的主要內(nèi)容和案例均選自東南大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院量子計(jì)算與量子信息研究室研究生早期發(fā)表在《計(jì)算機(jī)學(xué)報(bào)》《軟件學(xué)報(bào)》《計(jì)算機(jī)研究與發(fā)展》《電子學(xué)報(bào)》《通信學(xué)報(bào)》以及《東南大學(xué)學(xué)報(bào)》上的研究論文。特別是第四章的4.3節(jié)和第五章的5.3節(jié)，以及第六章相關(guān)部分的核心內(nèi)容是取自于李志強(qiáng)博士的相關(guān)論文及其博士學(xué)位論文的有關(guān)章節(jié)，通過(guò)圍繞主線編撰后完成。全書(shū)由陳漢武執(zhí)筆撰寫(xiě)。由于撰寫(xiě)本書(shū)的目的在于對(duì)學(xué)生的新科學(xué)的教育啟蒙和興趣培養(yǎng)，期待通過(guò)一個(gè)現(xiàn)實(shí)的物理問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模演繹出不同的求解方法，通過(guò)不同的解決方案讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)作為工具在問(wèn)題解決過(guò)程中的作用，同時(shí)理解問(wèn)題解決方案中數(shù)學(xué)建模的意義和內(nèi)涵，通過(guò)舉一反三培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算思維與數(shù)學(xué)建模的意識(shí)和能力。期待更多愿意動(dòng)手的學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)和討論，結(jié)合程序設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的教學(xué)，能夠完成相關(guān)算法的程序?qū)崿F(xiàn)。

陳漢武2017年3月13日

第一章為什么要研究量子可逆邏輯電路？1

1.1集成電路產(chǎn)業(yè)大事記、摩爾定律與芯片集成度及其可預(yù)見(jiàn)的

發(fā)展極限1

1.2不可逆邏輯門(mén)、不可逆電路與計(jì)算機(jī)硬件的能耗與降溫3

1.3理論上量子可逆門(mén)電路可以解決以上兩個(gè)瓶頸問(wèn)題4

1.4可逆邏輯門(mén)、可逆邏輯門(mén)集合的稠密子集5

1.5量子比特與張量乘積6

1.6量子態(tài)的疊加與并行計(jì)算11

1.7量子態(tài)疊加與量子態(tài)糾纏物理現(xiàn)象的代數(shù)表達(dá)式13

1.8量子可逆邏輯電路的基本概念、發(fā)展簡(jiǎn)史與問(wèn)題解決的基本方法15

1.9物理模型，數(shù)學(xué)模型，學(xué)習(xí)的任務(wù)16

第二章量子可逆邏輯電路代數(shù)演算中的基本定義20

2.1可逆函數(shù)、可逆邏輯門(mén)與可逆邏輯門(mén)電路的基本定義20

2.2量子邏輯門(mén)及其演算21

第三章真值表方法24

3.1邏輯函數(shù)與真值表及其運(yùn)算規(guī)則24

3.2用真值表求解可逆邏輯門(mén)電路的漢明距離方法28

3.3基于真值表的二分法可逆邏輯電路綜合算法31

3.31相關(guān)概念與約定32

3.32以3量子為例解說(shuō)二分電路綜合算法33

3.33算法分析36

3.34優(yōu)化36

3.35實(shí)驗(yàn)計(jì)算結(jié)果37

3.4基于真值表的圖表示法可逆邏輯電路綜合算法39

3.41相關(guān)概念與約定40

3.42算法描述43

3.43優(yōu)化48

3.44實(shí)驗(yàn)計(jì)算結(jié)果和分析51

35基于真值表的圖表示法可逆邏輯電路綜合算法的4量子可逆

函數(shù)綜合舉例53

第四章代數(shù)方法59

4.1邏輯代數(shù)與邏輯電路59

4.2基于RM方法求解邏輯函數(shù)的可逆邏輯電路60

4.3用RM方法求解可逆邏輯門(mén)電路例題63

44一個(gè)基于RM方法的量子可逆邏輯電路綜合的算法67

4.41三個(gè)基本定義69

4.42三個(gè)優(yōu)化規(guī)則71

4.43基于RM的量子可逆邏輯門(mén)電路綜合方法73

4.44基于RM的量子可逆邏輯電路綜合的快速算法78

4.45算法結(jié)果與分析83

第五章置換群方法88

5.1用置換群建模的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)88

5.11映射函數(shù)f(x)的置換表示88

5.12置換里的映射和置換群上的乘積運(yùn)算89

5.13置換中的換位運(yùn)算與一個(gè)置換的換位表達(dá)91

5.23量子比特的換位元素組與量子可逆邏輯電路的綜合方法93

53基于Hash表的量子邏輯電路綜合算法98

5.31基本概念（Fredkin門(mén)和Peres門(mén)的定義）99

5.32基于最小完備Hash函數(shù)的量子可逆邏輯電路綜合算法102

5.33基于位運(yùn)算的Hash函數(shù)量子可逆邏輯電路綜合算法112

5.34實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析119

第六章4量子可逆邏輯電路綜合算法122

6.1基本概念123

6.2量子可逆邏輯電路綜合的新算法132

6.21最小長(zhǎng)度整體綜合算法133

6.22量子電路序列生成算法135

6.3實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析137

附錄A138

附錄B模板及其模板優(yōu)化技術(shù)147

附錄CHash表的邏輯結(jié)構(gòu)與物理構(gòu)造155

綜合練習(xí)156

量子可逆邏輯電路綜合論文列表1598,