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1.前言 著名的德國數(shù)學家高斯曾說:“數(shù)學是科學的皇后”.人類的實踐也已證明數(shù)學是所有科學的共同“語言”，是學習所有自然科學的“鑰匙”，而數(shù)學素養(yǎng)更是成為衡量一個國家科技水平的重要標志.獨立學院文、理科線性代數(shù)課程是培養(yǎng)高素質(zhì)應用型人才的重要的必修課，我們編寫該課程教材的立足點就是基礎與應用并重，以提高學生數(shù)學素養(yǎng)為根本目標. 在基礎與應用并重的思想指導下，我們編寫了線性代數(shù)課程的教學大綱，設計了課時安排，教材編寫與教學實踐密切結合，并多次修改力求完善.在編寫過程中,我們努力做到: (1)
在深度和廣度上符合教育部審定的“高等院校非數(shù)學專業(yè)線性代數(shù)課程教學基本要求”,并參照教育部考試中心頒發(fā)的《全國碩士研究生招生考試數(shù)學考試大綱》數(shù)學一與數(shù)學三中線性代數(shù)的知識范圍.在獨立學院中,有不少學生是因為高考發(fā)揮失常而沒有考上理想的高校，進入獨立學院后,他們發(fā)奮努力，立志考研.我們編寫教材時,在廣度上盡可能達到考研的知識范圍. (2)
注重數(shù)學的思想和方法,適當?shù)貪B透現(xiàn)代數(shù)學思想，并運用部分近代數(shù)學的術語與符號，以求符合獨立學院培養(yǎng)高素質(zhì)的具有創(chuàng)新精神的應用型人才的目標.教材除了要使學生獲得線性代數(shù)的基本概念、基本理論和基本方法,還要讓學生受到一定的科學訓練,學到數(shù)學思想方法,為其學習后繼課程提供必要的數(shù)學基礎，并為其畢業(yè)后勝任工作或繼續(xù)深造積累潛在的能力. (3) 通過教學研究,將一些經(jīng)典定理、公式的結論或證明加以更新與優(yōu)化.如此，既改革了教學內(nèi)容,又豐富了線性代數(shù)的內(nèi)涵. 我們的目標是全書結構嚴謹,難易適度,語言簡潔,既適合培養(yǎng)目標,又貼近教學實際,便于教與學. 本書包含行列式、矩陣、向量空間、線性方程組、特征值問題、歐氏空間、二次型、線性空間與線性變換簡介等八章.對數(shù)學要求較高的理工類、經(jīng)管類專業(yè),如電子、電氣、計算機、經(jīng)管、金融等，本書可用一個學期講授,每周4學時；其他專業(yè)，如土木、地質(zhì)、化工等，可依實際安排的學時數(shù)選講線性代數(shù)的基本內(nèi)容(如略去基變換與坐標變換、二次型等).本書在附錄部分提供了線性代數(shù)課程的教學課時安排建議，供授課老師參考. 書中用*標出的部分為較難內(nèi)容，供任課教師選用(一般留給學生課外自學).書中習題分A,B兩組，A組為基本要求，B組為較高要求；除第8章外，每一章末有復習題,供學有余力的學生練習.書末附有習題答案與提示. 本書由陳仲、王培、林小圍編著,陳仲寫第1,4,8章,王培寫第3,5,6章,林小圍寫第2,7章. 感謝金陵學院教務處和基礎教學部對編者的關心,感謝錢鐘教授、王均義教授、黃衛(wèi)華教授和王建民主任對編者的支持,感謝范克新、鄧建平、袁明霞、馬榮、章麗霞、魏云峰、邵寶剛等老師使用本書講授線性代數(shù)課程，并給編者提供寶貴的修改建議.感謝東南大學出版社吉雄飛編輯的認真負責和悉心編校，使本書質(zhì)量大有提高. 書中不足與錯誤難免,敬請智者不吝賜教. 陳仲 2018年1月于南京大學 2.目錄 1行列式1 1.1行列式基本概念1 1.1.1n階行列式的定義1 1.1.2行列式的性質(zhì)5 習題1.19 1.2行列式的計算9 1.2.1拉普拉斯展開定理9 1.2.2行列式計算舉例10 習題1.215 復習題117 2矩陣18 2.1矩陣基本概念18 2.1.1矩陣的定義18 2.1.2常用的特殊矩陣18 2.1.3矩陣的線性運算20 2.1.4矩陣的乘法21 2.1.5分塊矩陣24 習題2.129 2.2初等變換與初等矩陣30 2.2.1矩陣的初等變換30 2.2.2矩陣的階梯形31 2.2.3初等矩陣33 2.2.4初等變換與初等矩陣的聯(lián)系34 2.2.5矩陣的行列式35 習題2.237 2.3逆矩陣39 2.3.1可逆矩陣與逆矩陣39 2.3.2克萊姆法則44 2.3.3用初等行變換求逆矩陣與方程組的唯一解46 習題2.349 復習題250 3向量空間52 3.1向量空間基本概念52 3.1.1向量空間的定義52 3.1.2子空間53 習題3.153 3.2向量組的線性相關性54 3.2.1向量組線性相關與線性無關的定義54 3.2.2線性相關與線性無關向量組的性質(zhì)57 習題3.260 3.3向量組的秩61 3.3.1向量組的極大無關組61 3.3.2向量組的等價64 3.3.3向量組秩的定義與性質(zhì)66 習題3.367 3.4矩陣的秩68 3.4.1矩陣秩的定義68 3.4.2用初等行變換求矩陣的秩69 3.4.3矩陣的行秩與列秩70 3.4.4矩陣的和秩71 3.4.5矩陣的積秩71 習題3.473 3.5向量空間的基·基變換·坐標變換75 3.5.1向量空間的基與維數(shù)75 3.5.2向量的坐標76 3.5.3基變換與坐標變換77 3.5.4用初等行變換求過渡矩陣與向量的坐標78 習題3.580 復習題381 4線性方程組82 4.1線性方程組解的屬性82 4.1.1線性方程組的初等變換82 4.1.2線性方程組解的性質(zhì)83 4.1.3線性齊次方程組解的屬性83 4.1.4線性非齊次方程組解的屬性85 習題4.188 4.2線性方程組的通解90 4.2.1線性齊次方程組的基礎解系90 4.2.2線性齊次方程組的通解91 4.2.3線性非齊次方程組的通解94 習題4.299 復習題4101 5特征值問題103 5.1特征值與特征向量103 5.1.1特征值與特征向量的定義103 5.1.2特征值與特征向量的求法103 5.1.3特征值與特征向量的性質(zhì)107 習題5.1111 5.2矩陣的相似對角化113 5.2.1相似矩陣113 5.2.2矩陣相似對角化的定義114 5.2.3矩陣可相似對角化的條件114 5.2.4矩陣相似對角化的步驟117 習題5.2122 復習題5123 6歐氏空間124 6.1歐氏空間基本概念124 6.1.1向量的內(nèi)積124 6.1.2歐氏空間與度量矩陣124 6.1.3向量的模與兩向量的夾角127 習題6.1130 6.2正交矩陣130 6.2.1正交矩陣基本概念130 6.2.2施密特正交規(guī)范化方法132 習題6.2136 6.3矩陣的正交相似對角化137 6.3.1矩陣正交相似對角化的定義137 6.3.2實對稱矩陣的特征值與特征向量137 6.3.3實對稱矩陣可正交相似對角化138 6.3.4實對稱矩陣正交相似對角化的步驟139 習題6.3142 復習題6143 7二次型144 7.1二次型基本概念144 7.1.1二次型的矩陣表示144 7.1.2二次型的等價146 習題7.1146 7.2矩陣的合同對角化147 7.2.1合同矩陣147 7.2.2矩陣合同對角化的定義148 7.2.3對稱矩陣可合同對角化148 *7.2.4用初等變換將對稱矩陣合同對角化150 7.2.5矩陣正交合同對角化的定義151 7.2.6實對稱矩陣可正交合同對角化151 習題7.2152 7.3二次型的標準形152 7.3.1二次型的標準形與規(guī)范形152 7.3.2通過配方化實二次型為標準形156 7.3.3通過正交變換化實二次型為標準形157 *7.3.4通過初等變換化實二次型為標準形159 7.3.5慣性定理160 7.3.6二次曲面類型的判別162 習題7.3162 7.4正定二次型與正定矩陣164 7.4.1二次型的分類164 7.4.2正定二次型與正定矩陣的判別法164 習題7.4168 復習題7169 *8線性空間與線性變換簡介170 8.1線性空間的基本概念170 8.1.1線性空間的例子170 8.1.2線性空間的同構171 習題8.1174 8.2線性變換的基本概念174 8.2.1線性變換的定義174 8.2.2線性變換的像與核175 8.2.3線性變換在基下的矩陣177 8.2.4線性變換在不同基下矩陣的關系180 習題8.2182 習題答案與提示184 附錄《線性代數(shù)》教學課時安排建議210 |
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